圆环转动惯量的计算涉及到转动惯量的概念以及圆环的几何形状。转动惯量是一个物体在旋转时抵抗转动的量度。对于圆环，我们可以使用平行轴定理来计算其转动惯量。

首先，我们需要知道圆环的质量分布。假设圆环的质量集中在环的中心，并且环的质量为M。

1. 计算圆环的质量分布：

质量分布为质量密度函数ρ(r)，其中r为圆环内半径。对于均匀圆环，质量密度函数为：

ρ(r) = M / (2 * π * r^2)

1. 计算圆环的极轴转动惯量：

极轴转动惯量I_p是指在圆环中心轴线上的转动惯量。我们可以通过将质量密度函数与圆环的极轴距离r相乘并积分来计算它：

I_p = ∫(ρ(r) * r^2) dr

将质量密度函数代入：

I_p = ∫(M / (2 * π * r^2) * r^2) dr

积分后得到：

I_p = M * ∫(1 / (2 * π * r)) dr

I_p = M * ln(r_max / r_min) / (2 * π)

其中，r_max为圆环外半径，r_min为圆环内半径。

1. 计算圆环的转动惯量：

圆环的转动惯量I_ring是指在任意轴上的转动惯量。我们可以将I_p视为一个质点与圆环中心之间的距离为r的质点的转动惯量。利用平行轴定理，我们可以得到：

I_ring = I_p + m * r^2

其中，m为圆环的质量。

将I_p代入：

I_ring = M * ln(r_max / r_min) / (2 * π) + M * r_max^2

这就是圆环的转动惯量的推导过程。