目前滨南体育馆归属于滨江区管辖。

因为根据杭州市政府官方网站上的相关信息显示，滨南体育馆位于杭州市滨江区滨盛路，是滨江区的体育场馆之一，由滨江区政府主管和管理，所以可以得出结论滨南体育馆现在归滨江区管辖。

值得延伸的是，滨南体育馆是杭州市重要的大型体育场馆之一，曾经多次承接国内外知名赛事和活动，如2016年G20峰会、2019年第七届世界军人运动会等。

除了体育比赛之外，该场馆还为周边居民提供运动健身、休闲娱乐等多元化服务。