高斯代数基本定理，又称为高斯整数基本定理，是数论中的一个定理，它表明任何非零的整数都可以表示为四个整数的平方和。证明方法如下：
首先，我们可以将一个非零的整数表示为一系列的素数幂次的乘积，即
n=\\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}
n=∏
i=1
k
p
i
a
i
，其中
p_i
p
i
是素数，
a_i
a
i
是非负整数。然后，我们注意到每个素数都可以表示为其自身的平方与它自身的乘积，即
p_i=p_i^{2}\\cdot p_i^{0}
p
i
=p
i
2
⋅p
i
。因此，我们可以将每个素数幂次表示为两个整数的平方和，从而将原整数表示为四个整数的平方和。
例如，如果
n=2^2\\cdot3^3\\cdot5^1
n=2
2
⋅3
3
⋅5
1
，则可以将它表示为
(2^2+0\\cdot3^2)^2+(0\\cdot3^2+3^2)^2+(0\\cdot5^2+5^2)^2+(0\\cdot5^2+0\\cdot3^2+2^2)^2
(2
2
+0⋅3
2
)
2
+(0⋅3
2
+3
2
)
2
+(0⋅5
2
+5
2
)
2
+(0⋅5
2
+0⋅3
2
+2
2
)
2
。
通过这个证明方法，我们可以看出高斯代数基本定理在数论中具有重要的应用价值，它可以用来解决许多与整数分解和素数幂次有关的问题。