在郑州申请廉租房和公租房的条件主要包括以下几点：

廉租房申请条件：

家庭成员中至少有一人取得本市常住户口6年以上。对于家庭成员中有户口迁入的，迁入时间必须在2年以上。

持有民政部门发放的“城镇居民最低生活保障金领取证”或者家庭人均月收入低于郑州市城市居民最低生活保障标准2倍的低收入家庭认定证明。

无自有住房，或者人均住房建筑面积低于16平方米。

公租房申请条件：

符合申请条件的本市市区居民，可以以家庭为单位申请公共租赁住房。

申请公共租赁住房，应当符合以下条件：具有本市市区户籍3年（含）以上；家庭成员中至少有一人取得本市常住户口6年以上；家庭人均月收入低于郑州市城市居民最低生活保障标准2倍的低收入家庭认定证明；无自有住房，或者人均住房建筑面积低于16平方米。

单身人员申请公共租赁住房的，应当年满28周岁。

新就业职工申请公共租赁住房的，应当自毕业之日起3年内提出申请。

外来务工人员申请公共租赁住房的，应当在郑州市连续缴纳社会保险6个月以上，并持与本市用人单位签订的1年以上劳动合同。

请注意，这些条件可能会根据具体的政策和规定而有所变化。建议您在申请前咨询当地的住房保障部门或相关机构，以获取最准确和最新的信息。